UNIDAD TRES:ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

LA LEY DEL SENO Y DEL COSENO

Ley de senos.

La ley de senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Usualmente se nos presenta de la siguiente forma


Igualmente tenemos los despejes para cuando buscamos un lado y un ángulo respectivamente, añadiendo que al resultado de segundo despeje (el del ángulo) debemos sacarle seno inverso para que nuestro resultado sea correcto.

Para poder usar la ley de senos debemos cumplir las siguientes condiciones:
- Conocer un lado y dos ángulos del triángulo (LAA).
- Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LLA).

ley de coseno


c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C . Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

SOLUCIÓN DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Existen cuatro casos de triángulos oblicuángulos:


• El I y II se resuelven con Ley de Senos 

• Los III y IV se resuleven con Ley de Cosenos 

UNIDAD 4 :GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

la rama de la Matemática que tiene como objeto de estudio a las proporciones y singularidades de distintas figuras ubicadas en un plano o en el espacio se define como geometría. Esta disciplina, según cuentan los expertos, a fin de representar la realidad apela a los sistemas axiomáticos; de esta manera, emplea estructuras matemáticas basadas en símbolos que le permiten desarrollar cadenas que, a su vez, se vinculan a través de ciertas reglas y generan nuevas cadenas.
el origen de la geometría analítica aún existen muchas discusiones entre los matemáticos e historiadores pues unos atribuyen su paternidad a un científico y otros lo hacen a otro diferente. No obstante, lo que sí es cierto e indiscutible es que existen tres figuras históricas que fueron los primeros en utilizarla y desarrollarla de una u otra forma.


Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131). Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre demostraciones de álgebra.

Linea recta

LINEA RECTA

Una línea está formada por una sucesión de infinitos puntos. Puede que os extrañe que sean infinitos puntos lo que la forman porque nuestra percepción visual solo ve un trazo continuo, pero si nos acercamos lo suficiente podemos apreciar que realmente son puntos que se sitúan uno junto a otro.

Vamos a ver los tipos de líneas según la forma: la línea recta y la línea curva.

Línea recta: sucesión de infinitos puntos (no tiene principio ni fin, es decir no tiene límites) donde los puntos están alineados en una misma dirección.

tipos de líneas rectas en el espacio según la disposición:

• Línea recta horizontal
• Línea recta vertical
• Línea recta oblicua

la circunferencia

La circunferencia

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.







Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. 
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. 
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. 
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. 
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. 
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

elipse

Concepto y elementos de la elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 

Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. 

hiperbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

unidad dos:funciones trigonometricas

funciones trigonometricas

Función Seno:
La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
Función Cosecante
La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno

Función Coseno:
La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa

Función Secante
La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:

en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno

Circunferencia unitaria

Circunferencia unitaria

el estudio de las funciones trigonométricas requiere del análisis de su comportamiento y de la identificación de su dominio y su rango .la circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de su radio la unidad.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1=}$ radio = hipotenusa.

Angulo de trasnferencia

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.La podemos definir formalmente como:La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

Gráficas de funciones trigonométricas

Algunas de las propiedades de una gráfica de las funciones trigonométricas son: dominio, máximo, asíntotas, periodo, alcance, etc.

Las funciones trigonométricas son: y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x), en donde lo que está en el paréntesis es el dominio y “y” es el alcance.

El ciclo de la función seno comienza en 0 y termina en 2π.

Dominio: el conjunto de números reales

Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.

Cruza el eje de “y” en (0,0)

El eje de referencia es: eje “x”.

El punto máximo es:  (π/2,1)

El punto mínimo es: (3π/2,-1)

Su período: 2π.

funcion secante y cosecante

Representación gráfica de la función secante Utilizando ángulos notables y partiendo del hecho de que la función secante es una función racional, pues se define como el cociente entre uno y coseno, podemos dibujar la función valiéndonos de las imágenes de esos ángulos y de las asíntotas verticales que posee la función justo en los valores que el coseno se hace cero En este video vamos a hablar acerca de la función secante y su representación gráfica. En los videos anteriores veíamos que la secante de un ángulo era la relación inversa o inverso multiplicativo del coseno y sabemos también que el coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud del segmento, además sabemos que al hacer esta definición con base en la circunferencia unitaria el coseno simplemente es el valor de la coordenada X. Para graficar la función secante solo tenemos que hacer una tabla de valores donde expresemos el inverso multiplicativo del coseno teniendo en cuenta que en los videos anteriores se habían definido estos valores para los ángulos notables, tales como 0°, 90°, 180°, 270° y 360° grados. . Como vemos la función secante presenta el mismo inconveniente de la función tangente y es no estar definida para los valores en los cuales el coseno del ángulo adquiere el valor de cero, se dice entonces que la gráfica de la función está delimitada por estos valores mediante una líneas imaginarias llamadas asíntotas, esto quiere decir que la función nunca tocará estas líneas imaginarias y que la función tiene hacia el infinito cerca de estos puntos. se muestra detalladamente estos aspectos y los pasos requeridos para construir la gráfica, como se puede apreciar esta función no es continua para todos los valores que pueda tomar un ángulo y puede tomar signos negativos según el cuadrante en donde se exprese el coseno del ángulo.




La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica recíproca de la función seno, o también su inverso multiplicativo:

curva sinusoidales

curvas sinusoidales

En matemáticas se denomina sinusoide o senoide a la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí. Es una curva que describe una oscilación repetitiva y suave.

Su forma más básica en función del tiempo (t) es:

${\displaystyle y(t)=A\operatorname {sen}(\omega t+\varphi )}$

La senoide es importante en física debido al hecho descrito por el teorema de Fourier que dice que toda onda, cualquiera que se sea su forma, puede expresarse de manera única como superposición (suma) de ondas sinosuidales de longitudes de onda y amplitudes definidas.¹​ Por este motivo se usa esta función para representar tanto a las ondas sonoras como las de la corriente alterna.

Período (T) en una sinusoide

Es el menor conjunto de valores de X que corresponden a un ciclo completo de valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica.En las gráficas de las funciones seno-coseno, secante-cosecante el período es 2π, mientras que para la tangente y cotangente el período esπ.
[Amplitud (A) en una sinusoideEs el máximo alejamiento en valor absoluto de la curva medida desde el eje X.[Fase (φ) en una sinusoideLa fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia e igual polaridad, se dice que están en fase.Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia y distinta polaridad, se dice que están en desfase, y una de las sinusoides está adelantada o atrasada con respecto de la otra.(No tiene sentido comparar la fase de dos sinusoides con distinta frecuencia, puesto que éstas entran en fase y en desfase periódicamente).

TRIANGULO RECTANGULO

TRIANGULO RECTÁNGULO

se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.​ Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitorras ya conocido por los babilonios.

Un ángulo recto es aquel que mide 90° (sexagesimales). Su amplitud medida en otras unidades es: 2 radianes y 100 (centesimales). Sus dos lados son dos semirrectas perpendiculares, y el vértice es el origen de dichas semirrectas.

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

• Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ veces la longitud del cateto.

• Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ veces la longitud del cateto menor.

• Tiene dos ángulos agudos.
• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
• La suma de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de los catetos.
• Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.
• La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.
• La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes​
• Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo.⁷​
• La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
• La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

TRIANGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES

TRIANGULO RECTÁNGULO ESCALENO

Calcular el área de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

A = 10 · 6 = 60 cm²

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x 2 – x 1 ) .